Question

設函數f(x)=2cos2x+

3

sin2x．
（1）求f（x）的周期以及單調增區(qū)間；
（2）當f(x)=

5

3

(-

π

6

＜x＜

π

6

)時，求sin2x．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡整理，進而利用正弦函數的性質求得函數的周期以及單調遞增區(qū)間．
（2）先根據f（x）=

5

3

求得sin（2x+

π

6

）的值，進而根據x的范圍確定x+

π

6

求得cos（x+

π

6

）的值，進而根據sin2x=sin（2x+

π

6

-

π

6

）利用兩角和公式求得答案．

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1-cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
當2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

故函數的單調增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1=

5

3

∴sin（2x+

π

6

）=

1

3

，且-

π

6

＜x＜

π

6

∴cos（2x+

π

6

）＞0
∴cos（2x+

π

6

）=

1- 1 9

=

2 2

3

sin2x=sin（2x+

π

6

-

π

6

）=

1

3

×

3

2

-

2 2

3

×

1

2

=

3 -2 2

6

．

點評：本題主要考查了三角函數的周期性及其求法，二倍角公式，兩角和公式化簡求值．考查了學生對三角函數基礎知識的綜合把握．