Question

10．如圖，正方形ABCD邊長為1，從某時刻起，將線段AB，BC，CD，DA分別繞點A，B，C，D順時針旋轉(zhuǎn)相同角度α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），若旋轉(zhuǎn)后的四條線段所圍成的封閉圖形面積為$\frac{1}{2}$，則α=（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{12}$或$\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得旋轉(zhuǎn)后的四條線段所圍成的封閉圖形為正方形，邊長為cosα-sinα，得：（cosα-sinα）²=$\frac{1}{2}$，進而解得cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosα+sinα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，聯(lián)立解得cosα=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{4}$，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解．

解答 解：如圖所示，旋轉(zhuǎn)后的四條線段所圍成的封閉圖形為正方形，
邊長為cosα-sinα，
由題意可得：（cosα-sinα）²=$\frac{1}{2}$，
可得：cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，2sinαcosα=$\frac{1}{2}$
又0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得：cosα+sinα=$\sqrt{1+2sinαcosα}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，②
所以：由①②可得：cosα=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{4}$．
故α=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，由已知得到旋轉(zhuǎn)后的四條線段所圍成的封閉圖形是邊長為cosα-sinα的正方形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．