Question

設x，y滿足約束條件

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則

1

a2

+

1

4b2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：數形結合

分析：由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得到a，b的關系式，然后利用基本不等式求

1

a2

+

1

4b2

的最小值．

解答： 解：由約束條件作可行域如圖．

由圖可知，使目標函數數z=ax+2by（a＞0，b＞0）取得最大值的點為B（1，1），
∴a+2b=1，
則

1

a2

+

1

4b2

≥2

1 a2 • 1 4b2

=

1

ab

（當且僅當a=2b時取等號），
由

a+2b=1 a=2b

，解得：

a= 1 2 b= 1 4

．
∴

1

a2

+

1

4b2

的最小值為

1

ab

=

1

1 2 × 1 4

=8．
故答案為：8．

點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．