Question

已知定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外的一點，且P不在α內(nèi)，若直線AP，BP與α分別交于C，D點，求證：不論P在什么位置，直線CD必過一定點．

Answer 1

考點：分析法和綜合法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知中定線段AB所在的直線與定平面α相交，直線AP、BP與α分別交于C、D點，根據(jù)公理3可判斷直線CD必過一定點．

解答： 證明：設(shè)定線段AB所在直線為l，與平面α交于O點，即l∩α=O．
由題意可知，AP∩α=C，BP∩α=D，∴C∈α，D∈α．
又∵AP∩BP=P．
∴AP、BP可確定一平面β且C∈β，D∈β．
∴CD=α∩β．∴A∈β，B∈β．∴l(xiāng)?β．∴O∈β．∴O∈α∩β，即O∈CD．
∴不論P在什么位置，直線CD必過一定點．

點評：本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)，屬于中檔題．