Question

（1）從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問：能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？
（2）在二項(xiàng)式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì),排列組合

分析：（1）本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C₄³種結(jié)果，第二步在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C₅⁴種結(jié)果，第三步得到的7個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列有A₇⁷種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果，將3個(gè)偶數(shù)排在一起，有A₃³種情況，4個(gè)奇數(shù)也排在一起有A₄⁴種情情況，問題得以解決
（2）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到n的值，由通項(xiàng)公式可得展開式中的有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求出9項(xiàng)的全排列數(shù)，由插空排列求出有理項(xiàng)都互不相鄰的排列數(shù)，最后由古典概型概率計(jì)算公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C₄³種結(jié)果，第二步在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C₅⁴種結(jié)果，第三步得到的7個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列有A₇⁷種結(jié)果，
∴符合題意的七位數(shù)有C₄³C₅⁴A₇⁷=100800．
上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起有A₃³種情況，4個(gè)奇數(shù)也排在一起有A₄⁴種情況，
共有C₄³C₅⁴A₃³A₄⁴A₂²=5760，
（2）解：∵二項(xiàng)式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式共有9項(xiàng)，則n=8．
其通項(xiàng)為T_k+1=

C

k 8

•(

x

)8-k•(

1

2 4 x

)k=

1

2k

C

k 8

•

16-3k

4

當(dāng)r=0，4，8時(shí)，項(xiàng)為有理項(xiàng)．
展開式的9項(xiàng)全排列共有

A

9 9

種，
有理項(xiàng)互不相鄰可把6個(gè)無理項(xiàng)全排，把3個(gè)有理項(xiàng)在形成的7個(gè)空中插孔即可，有

A

6 6

•

A

3 7

種．
∴有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為

A 6 6 • A 3 7

A 9 9

=

5

12

點(diǎn)評：本題考查排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用古典概型概率計(jì)算公式求概率，本題解題的關(guān)鍵是對于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對于不相鄰的元素要采用插空法，屬于中檔題