Question

若一條曲線既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則稱這條曲線為“二重對稱曲線”，給出下列四條曲線：
其中是“二重對稱曲線”的有    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得方程表示橢圓，由橢圓的性質可得此曲線是二重對稱曲線．
（2）由x²=y+1可得y=x²-1，所以函數(shù)y=x²-1是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質可得曲線x²=y+1不是二重對稱曲線．
（3）函數(shù)的圖象由余弦函數(shù)的圖象平移變換而來，有余弦函數(shù)的性質可得曲線是二重對稱曲線．
（4）由一次函數(shù)的性質可得：只有當k=0時，曲線y=kx+b（k，b∈R）才有對稱軸與對稱中心，所以曲線y=kx+b（k，b∈R）不是二重對稱曲線．
解答：解：（1）由題意可得方程表示橢圓，由橢圓的性質可得橢圓即關于x軸，y軸對稱也關于原點對稱，所以曲線是二重對稱曲線，所以選（1）．
（2）由x²=y+1可得y=x²-1，所以函數(shù)y=x²-1是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質可得其只有對稱軸，所以曲線x²=y+1不是二重對稱曲線，所以不選（2）．
（3）函數(shù)的圖象由余弦函數(shù)的圖象平移變換而來，因為余弦函數(shù)的圖象有對稱軸與對稱中心．所以可得曲線是二重對稱曲線，所以選（3）．
（4）由一次函數(shù)的性質可得：只有當k=0時，曲線y=kx+b（k，b∈R）才有對稱軸與對稱中心，所以曲線y=kx+b（k，b∈R）不是二重對稱曲線，所以不選（4）．
故答案為：（1）（3）．
點評：本題只有考查曲線的對稱性，解決此題的關鍵是熟練掌握常用函數(shù)的性質以及題中的新定義，此題屬于基礎題．