Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1，(1≤x≤2) x-1，(2＜x≤3)

，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a≥0．記函數(shù)g（x）的最大值與最小值的差為h（a），求h（a）的表達(dá)式并求h（a）的最小值．

Answer 1

g(x)=

1-ax(1≤x≤2) (1-a)x-1(2＜x≤3)

當(dāng)1≤x≤2時(shí)，g（x）_max=1-a，g（x）_min=1-2a（2分）
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，若0≤a≤1，則g（x）在[2，3]上遞增，
g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a（4分）
當(dāng)a＞1時(shí)，則g（x）在[2，3]上遞減，
g（x）_max=1-2a，g（x）_min=2-3a（6分）
∴0≤a≤

1

2

時(shí)，g(x)max=2-3a，g(x)min=1-2a
當(dāng)

1

2

≤a≤1時(shí)，g(x)max=1-a，g(x)min=1-2a
當(dāng)a≥1時(shí)，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a（9分）
∴h(a)=

1-a，0≤a≤ 1 2 a， 1 2 ＜a＜1 2a-1，a≥1

（12分）
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，h（a）取最小值為

1

2

（14分）