Question

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：

2

．求：
（1）直線PB與與平面ABCD所成角的大��；
（2）直線PB與平面PDC所成角的大�。�
（3）直線PC與平面PBD所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，得∠PBD是直線PB與與平面ABCD所成角，由此能求出直線PB與與平面ABCD所成角．
（2）由已知得PD⊥面ABCD，從而PD⊥CD，PD⊥BC，進(jìn)而BC⊥面PCD，∠BPC是PB與平面PDC所成的角，由此能求出直線PB與平面PDC所成角．
（3）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PC與平面PBD所成角的大小．

解答： .解：（1）∵PD⊥平面ABCD，
∴∠PBD是直線PB與與平面ABCD所成角，
∵AD⊥PC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：

2

，
∴設(shè)PD=1，DC=1，BC=

2

，AD⊥平面PDC，
∴∠BCD=90°，BD=

DC2+BC2

=

3

，
∴tan∠PBD=

PD

BD

=

1

3

=

3

3

，
∴∠PBD=30°，
∴直線PB與與平面ABCD所成角為30°．
（2）∵AD⊥DC，AD∥BC
∴底面ABCD是直角梯形，即BC⊥CD
∵PD⊥面ABCD∴PD⊥CD，PD⊥BC，∴BC⊥面PCD，
∴∠BPC是PB與平面PDC所成的角
又PD：DC=1：1，設(shè)PD=1，則PC=

2

，
∵DC：BC=1：

2

，∴BC=

2

=PC
∴∠BPC=45°，
∴直線PB與平面PDC所成角為45°．
（3）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），B（

2

，1，0），

DP

=(0，0，1)，

DB

=(

2

，1，0)，

PC

=（0，1，-1），
設(shè)平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DP =z=0 n • DB = 2 x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-

2

，0），
設(shè)直線PC與平面PBD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

PC

，

n

＞|=

| PC • n |

| PC |•| n |

=

2

2 × 3

=

3

3

，
∴直線PC與平面PBD所成角的大小為arcsin

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與平面所成角的求法，解題時(shí)要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．