Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+S_n+1=2n²+2n+1（n∈N⁺）
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，求a₈．
（2）若a₁=1，求S₁₀₀．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1|）首先根據(jù)數(shù)列的特殊項(xiàng)，先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出結(jié)果．
（2）利用已知條件求出數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)一步求出前n項(xiàng)和公式，最后確定結(jié)果．

解答： 解（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+S_n+1=2n²+2n+1（n∈N⁺），
當(dāng)n=1時(shí)，S₁+S₂=2+2+1=5
當(dāng)n=2時(shí)，S₂+S₃=8+4+1=13
由于：{a_n}是等差數(shù)列，
所以：

2a1+a2=5 2a1+2a2+a3=13 2a2=a1+a3

解得：

a1=1 a2=3

所以公差d=2
則：數(shù)列的通項(xiàng)公式為：a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
所以：a₈=2×8-1=15
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+S_n+1=2n²+2n+1
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，解得：a₂=3
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=5
進(jìn)一步解得：a₄=7
…
所以：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列
則：a_n=2n-1
所以：Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2
則：S100=1002=10000

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．