Question

如圖，在矩形ABCD中，AB>·AD，E為AD的中點，連結(jié)EC，作EF⊥EC，且EF交AB于F，連結(jié)FC.設(shè)＝k，是否存在實數(shù)k，使△AEF、△ECF、△DCE與△BCF都相似？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：假設(shè)存在實數(shù)k的值，滿足題設(shè)．

①先證明△AEF∽△DCE∽△ECF.

因為EF⊥EC，

所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE.

而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.

故得＝.又DE＝EA，所以＝.

又∠CEF＝∠EAF＝90°，

所以△AEF∽△ECF.

②再證明可以取到實數(shù)k的值，使△AEF∽△BCF，

由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC，

因此要使△AEF∽△BCF，應(yīng)有∠AFE＝∠BFC，

此時，有＝，又AE＝BC，故得AF＝BF＝AB.

由△AEF∽△DCE，可知＝，

因此，＝AB²，

所以＝，求得k＝＝.

可以驗證，當k＝時，這四個三角形都是有一個銳角等于60°的直角三角形，故它們都相似．