Question

【題目】已知數(shù)列中，對(duì)任何正整數(shù)n都有:

（1）若數(shù)列是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列是否是等差數(shù)列？若是請(qǐng)求出通項(xiàng)公式.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列.

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入中，利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)與和的關(guān)系求得，進(jìn)而推斷數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；

（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合首項(xiàng)為1，代入，整理得到，進(jìn)而求得的表達(dá)式，要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，必須，進(jìn)而得出結(jié)論當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列.

（1）依題意數(shù)列的通項(xiàng)公式是，

故等式即為，

，

兩式相減得，驗(yàn)證時(shí)也成立，

可求得，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；

（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，

從而有，

，

所以，

，

要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，必需，

即當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是；

當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列.