解:(Ⅰ)因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8568.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,所以a
2=a
1b
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
.所以P
2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
).
所以過點P
1,P
2的直線l的方程為 2x+y=1.
(Ⅱ)∵已知點P
n(a
n,b
n)(n∈N)在P
1,P
2兩點確定的直線l上,
∴2a
n+b
n=1.
由a
n+1=a
nb
n+1 可得 a
n+1=a
n(1-2a
n+1),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8569.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4091.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
=2,故{
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
}是公差等于2的等差數(shù)列.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
=1+2(n-1)=2n-1,所以a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8570.png)
.
(Ⅲ)由上可得 b
n=1-2a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8571.png)
.依題意 k≤(1+a
1)(1+a
2)(1+a
3)…(1+a
n)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8572.png)
恒成立.
設(shè)F(n)=(1+a
1)(1+a
2)(1+a
3)…(1+a
n)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8572.png)
,所以只需求滿足 k≤F(n)的F(n)的最小值.
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8573.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8574.png)
=(1+a
n+1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8575.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8576.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8577.png)
>1,
所以F(n) (x∈N
*)為增函數(shù).
所以F(n)
min=F(1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8578.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/518.png)
.
所以 k≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/518.png)
.
所以k
max=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/518.png)
.
分析:(Ⅰ)先求出a
2 和b
2 的值,即可得到P
2 的坐標(biāo),用兩點式求得過點P
1,P
2的直線l的方程.
(Ⅱ)把已知點P
n的坐標(biāo)代入直線l的方程可得 2a
n+b
n=1,化簡可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4091.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
=2,故{
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
}是公差等于2的等差數(shù)列,由此求得數(shù)列{a
n}通項公式.
(Ⅲ)由上可得 b
n=1-2a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8571.png)
.依題意 k≤(1+a
1)(1+a
2)(1+a
3)…(1+a
n)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8572.png)
恒成立.設(shè)F(n)=(1+a
1)(1+a
2)(1+a
3)…(1+a
n)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8572.png)
,利用單調(diào)性求得F(n)
min=F(1),故 k≤F(1),運(yùn)算求得結(jié)果.
點評:本題主要考查等差關(guān)系的確定,數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,函數(shù)的恒成立問題,屬于難題.