Question

例2：如圖：△ABC是邊長為3厘米的正三角形，D是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，甲、乙兩個質(zhì)點(diǎn)分別從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，都以1厘米/秒的速度按圖示方向沿三角形的邊作勻速運(yùn)動，經(jīng)過時(shí)間t（0≤t≤3）秒后，兩質(zhì)點(diǎn)的距離為S（t）．
（1）寫出函數(shù)S（t）
（2）求S（t）的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時(shí)相應(yīng)的t的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A，D分別運(yùn)動到E，F(xiàn)，由于0≤t≤2時(shí)，E在AB上，F(xiàn)在BC上，故在三角形BEF中，利用余弦定理可得s(t)=

BE2+BF2-2×BE×BF×cos60°

；同理2≤t≤3時(shí)，E在AB上，F(xiàn)在AC上，則三角形AEF中可求；
（2）先分段求函數(shù)的最值，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，s(t)=

3t2-9t+9

=

3(t- 3 2 ) 2+ 27 4

，可知函數(shù)的最值，同理當(dāng)2≤t≤3時(shí)，s(t)=

3t2-15t+25

=

3(t- 5 2 )2+ 75 4

，可知函數(shù)的最值，再比較可得S（t）的最大值和最小值從而求出相應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）設(shè)A，D分別運(yùn)動到E，F(xiàn)，則
當(dāng)0≤t≤2時(shí)，s(t)=

BE2+BF2-2×BE×BF×cos60°

=

3t2-9t+9

當(dāng)2≤t≤3時(shí)，s(t)=

AE2+AF2-2×AE×AF×cos60°

=

3t2-15t+25

∴S(t)=

3t2-9t+9 ，0≤t≤2 3t2-15t+25 ，2≤t≤3

（2）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，s(t)=

3t2-9t+9

=

3(t- 3 2 ) 2+ 27 4

，
∴S（t）的最大值和最小值分別為3，

3

2

3

；
 當(dāng)2≤t≤3時(shí)，s(t)=

3t2-15t+25

=

3(t- 5 2 )2+ 75 4

∴S（t）的最大值和最小值分別為

7

，

5

2

3

∴S（t）的最大值和最小值分別為3，

3

2

3

；相應(yīng)的t的值為0，

3

2

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查余弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查了分段函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)．