Question

．設(shè)集合是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列的集合：
①     ② 是與無關(guān)的常數(shù).
（Ⅰ）若是等差數(shù)列，是其前n項的和，，證明：；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項為，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，試證．

Answer 1

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）≥7（Ⅲ）同解析

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{}的公差是，則，解得所以 ……………………3分
由=－1＜0
得適合條件①；……………………5分
又，所以當=4或5時，取得最大值20，即≤20，適合條件②．綜上所述， ……………………7分
（Ⅱ）因為，所以當n≥3時，，此時數(shù)列單調(diào)遞減；當=1，2時，，即
因此數(shù)列中的最大項是，所以≥7 ……………………12分
（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得成立，
由數(shù)列的各項均為正整數(shù)，可得           
因為………14分
由           
因為
依次類推，可得    ……………………17分
又存在，使，總有，故有，這與數(shù)列（）的各項均為正整數(shù)矛盾！
所以假設(shè)不成立，即對于任意,都有成立.………………18分