Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1，O為坐標原點．若M為橢圓上一點，且在y軸右側，N為x軸上一點，∠OMN=90°，則點N橫坐標的最小值為（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件，結合橢圓性質(zhì)，推導出MN的直線方程為y-b=（-

a

b

）（x-a），解得點N的橫坐標x=a+

b2

a

，由此利用均值定理能求出點N的橫坐標最小值．

解答： 解：橢圓

x2

4

+y2=1，
∵點M（a，b）為橢圓上y軸右側的點，∴a＞0，
OM的斜率k=

b

a

當點M在頂點（2，0）上時，x軸上不存在點N使得∠OMN=90°
∴k=

a

b

不為0，
∴MN的斜率k=-

1

b a

=-

a

b

，
∴MN的直線方程為y-b=（-

a

b

）（x-a），
令y=0：-b=（-

a

b

）（x-a）
解得點N的橫坐標x=a+

b2

a

，
∵

a2

4

+b²=1，b²=1-

a2

4

，
∴x=a+

1- a2 4

a

=a+

1

a

-

a

4

=

3a

4

+

1

a

≥2

3a 4 • 1 a

=

3

．
當且僅當

3a

4

=

1

a

，即a=

2 3

3

時取得最小值

3

，
∴點N的橫坐標最小值為

3

．
故選：B．

點評：本題考查點的橫坐標的最小值的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)，要注意均值定理的合理運用．