Question

拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，以F₁、F₂為焦點(diǎn)、離心率的橢圓C₂與拋物線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經(jīng)過(guò)橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點(diǎn)．如果弦長(zhǎng)|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長(zhǎng)，求直線L的斜率；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=1時(shí)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及a，b 的值，寫(xiě)出橢圓方程．
（2）由于△PF₁F₂周長(zhǎng)為 2a+2c=6，故弦長(zhǎng)|A₁A₂|=6，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線L的方程，代入拋物線方程化簡(jiǎn)，
得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式求出斜率 k的值．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，經(jīng)分析在△PF₁F₂中|PF₁|最長(zhǎng)，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，
|PF₂|=2m-1，把代入橢圓方程求出m值．
解答：解：（1）m=1時(shí)，拋物線C₁：y²=4x，焦點(diǎn)為F₂ （1，0）． 由于橢圓離心率，c=1，
故 a=2，b=，故所求的橢圓方程為  ．
（2）由于△PF₁F₂周長(zhǎng)為 2a+2c=6，故弦長(zhǎng)|A₁A₂|=6，設(shè)直線L的斜率為k，則直線L的方程為 y-0=k（x-2），
代入拋物線C₁：y²=4x 化簡(jiǎn)得 k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，∴，x₁x₂=4，
∴|A₁A₂|=•= =6，解得  ．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)自然數(shù)，經(jīng)分析在△PF₁F₂中|PF₁|最長(zhǎng)，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，
則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1． 由拋物線的定義可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把代入橢圓，解得m=3．故存在實(shí)數(shù)m=3 滿(mǎn)足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，設(shè)出，△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是解題的難點(diǎn)．