Question

（2013•江蘇一模）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知直線l的參數(shù)方程

x=2-t y=1+ 3 t

（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程：ρ+2sinθ=0．
（1）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）在圓C上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線l的距離最小．

Answer 1

分析：（1）將直線l的參數(shù)方程的參數(shù)t消去即可求出直線的普通方程，利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式求出圓的直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C任意點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosθ，-1+sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值，并求出此時(shí)θ的度數(shù)，即可確定出所求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為y=-

3

x+1+2

3

，
ρ+2sinθ=0，兩邊同乘以ρ得ρ²+2ρsinθ=0，
得⊙C的直角坐標(biāo)方程為x²+（y+1）²=1；
（2）設(shè)所求的點(diǎn)為P（cosθ，-1+sinθ），
則P到直線l的距離d=

| 3 cosθ+sinθ-2-2 3 |

1+3

=

|2sin(θ+ π 3 )-2-2 3 |

2

=

2+2 3 -2sin(θ+ π 3 )

2

，
當(dāng)θ=

π

6

+2kπ，k∈Z，sin（θ+

π

3

）=1，d取得最小值

3

，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，-

1

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，以及直線的參數(shù)方程和直線與圓的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題．