Question

二次函數(shù)f（x）=3x²-4x+c（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為⊙C．
（1）求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）求⊙C的方程；
（3）問(wèn)⊙C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與c的取值無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）令x=0求出y的值，確定出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令f（x）=0，根據(jù)與x軸交點(diǎn)有兩個(gè)得到c不為0且根的判別式的值大于0，即可求出c的范圍；
（2）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x²+Dx+F=0，這與x²-

4

3

x+

c

3

=0是同一個(gè)方程，求出D，F(xiàn)．令x=0得，y²+Ey+F=0，此方程有一個(gè)根為c，代入得出E，由此求得圓C的一般方程；
（3）圓C過(guò)定點(diǎn)（0，

1

3

）和（

4

3

，

1

3

），證明：直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入驗(yàn)證．

解答：解：（1）令x=0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)（0，c），
令f（x）=3x²-4x+c=0，
由題意知：c≠0且△＞0，
解得：c＜

4

3

且c≠0；
（2）設(shè)圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0，得到x²+Dx+F=0，這與x²-

4

3

x+

c

3

=0是一個(gè)方程，故D=-

4

3

，F(xiàn)=

c

3

；
令x=0，得到y(tǒng)²+Ey+F=0，有一個(gè)根為c，代入得：c²+cE+

c

3

=0，解得：E=-c-

1

3

，
則圓C方程為：x²+y²-

4

3

x-（c+

1

3

）y+

c

3

=0；
（3）圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，

1

3

）和（

4

3

，

1

3

），理由為：
由x²+y²-

4

3

x-（c+

1

3

）y+

c

3

=0，
令y=

1

3

，解得：x=0或

4

3

，
∴圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，

1

3

）和（

4

3

，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．