Question

8．已知函數(shù)y=f（x）在定義域（-$\frac{3}{2}$，3）內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示．記y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x），則不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0的解集為[2，3）∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{x＜1}\end{array}\right.$②．根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{x＜1}\end{array}\right.$②．
由y=f（x）圖象可知f（x）在[-$\frac{1}{3}$，1]、[2，3）內(nèi)遞減，f′（x）≤0；
f（x）在（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]、[1，2]內(nèi)遞增，f′（x）≥0．
故由①可得x∈[2，3]，由②可得x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．
綜上可得，不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0的解集為[2，3]∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]，
故答案為：[2，3）∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)增減性的問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)單增；導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減，屬中檔題．