Question

由曲線x²=4y，x²=-4y，x=4，x=-4圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為V₁，滿足x²+y²≤16，x²+（y-2）²≥4，x²+（y+2）²≥4的點（x，y）組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V₂，則（ ）
A．V₁=V₂
B．V₁=V₂
C．V₁=V₂
D．V₁=2V₂

Answer 1

【答案】分析：由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為|y|，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個幾何體體積相等．
解答：解：如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，
用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為|y|，所得截面面積 S₁=π（4²-4|y|），
S₂=π（4²-y²）-π[4-（2-|y|）²]=π（4²-4|y|）
∴S₁=S₂，由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等，
故選C．
點評：本題主要考查祖暅原理的應(yīng)用，求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．