Question

（2012•四川）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，常數(shù)λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n對一切正整數(shù)n都成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)a₁＞0，λ=100，當(dāng)n為何值時，數(shù)列{lg

1

an

}的前n項和最大？

Answer 1

分析：（I）由題意，n=1時，由已知可知a₁（λa₁-2）=0，分類討論：由a₁=0，及a₁≠0，結(jié)合數(shù)列的和與項的遞推公式可求
（II）由a₁＞0且λ=100時，令bn=lg

1

an

，則bn=lg

100

2n

=2-nlg2，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求和的最大項

解答：解（I）當(dāng)n=1時，λ a12 =2s1=2a1
∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，則s_n=0，a_n=s_n-s_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，則a1=

2

λ

，當(dāng)n≥2時，2a_n=

2

λ

+sn，2an-1=

2

λ

+sn-1
兩式相減可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，從而可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
∴a_n=a₁•2^n-1=

2

λ

•2n-1=

2n

λ

綜上可得，當(dāng)a₁=0時，a_n=0，當(dāng)a₁≠0時，an=

2n

λ

（II）當(dāng)a₁＞0且λ=100時，令bn=lg

1

an

由（I）可知bn=lg

100

2n

=2-nlg2
∴{b_n}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=lg

100

26

=lg

100

64

＞0
當(dāng)n≥7時，bn≤b7=lg

100

27

=lg

100

128

＜0
∴數(shù)列{lg

1

an

}的前6項和最大

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的和的最大項，還考查了一定的邏輯運算與推理的能力．