Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，g（x）=12x-4，若f（-1）=0，且f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線為y=g（x）．
（1）求實數(shù)a，b，c的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）∵f（-1）=0，
∴-1+a-b+c=0①，
由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b，
又∵f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=g（x）=12x-4，
∴f（1）=g（1）=12-4=8，且f′（1）=12，即a+b+c=7②，2a+b=9③，
聯(lián)立方程①②③，解得：a=3，b=3，c=1；
（2）把（1）求得的a，b，c的值代入得f（x）=x³+3x²+3x+1，
∵h(yuǎn)（x）=f（x）-g（x）=x³+3x²-9x+5，
∴h′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
由h′（x）＞0，解得x＜-3或x＞1；由h′（x）＜0，解得-3＜x＜1，
∴h（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-3）和（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為：（-3，1）．
分析：（1）把x=-1代入f（x）中化簡得到a，b和c的等式記作①，然后求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因為g（x）為f（x）的圖象在（1，f（x））處的切線，所以得到f（1）等于g（1），即可得到f（1）的值，把x=1代入f（1）得到一個等式記作②，然后根據(jù)g（x）的斜率求出f′（1）的值，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中得到又一個等式記作③，聯(lián)立①②③，即可求出a，b和c的值；
（2）把（1）中求出的a，b和c的值代入到f（x）中得到f（x）的解析式，然后把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）=f（x）-g（x）中得到h（x）的解析式，求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0列出關(guān)于x的不等式即可求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的增減性得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是一道中檔題．