Question

在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面⊥平面，，、分別為、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：⊥；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）證明：⊥，證明兩線(xiàn)垂直，只需證明一線(xiàn)垂直另一線(xiàn)所在的平面，從圖上看現(xiàn)有的平面都不滿(mǎn)足，需重新構(gòu)造，注意到，是邊長(zhǎng)為的正三角形，可考慮取中點(diǎn)，連結(jié)，，這樣易證平面，從而可得；（Ⅱ）求三棱錐的體積，在這里的面積不容易求，且Ｂ到平面的距離也不易求，故可等體積轉(zhuǎn)化，換為求三棱錐的體積，由題意，，為的中點(diǎn)，故到平面的距離就等于點(diǎn)到平面的距離的，從而可得三棱錐的體積．
試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，．
∵，∴ ．     2分
又∵是正三角形， ∴．    
∵ ，
∴⊥平面．     4分
又在平面內(nèi)，∴⊥．   6分

（Ⅱ）∵是的中點(diǎn)，
∴．    8分
∵平面⊥平面，，∴平面．
又∵，，∴，即點(diǎn)到平面的距離為1．
∵是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離為．      10分
∴．      12分