Question

等軸雙曲線的兩個頂點分別為A₁、A₂，垂直于雙曲線實軸的直線與雙曲線交于M、N兩點，求證：

（1）∠MA₁N+∠MA₂N=180°；

（２）MA₁⊥A₂N，MA₂⊥A₁N.

Answer 1

證明：（1）不妨設等軸雙曲線的方程為=1,?

設直線MN的方程為x=b（b＞a）.?

如下圖，易求得

N（b,）,?

∴tan∠NA₁x=,

tan∠NA₂x=.?

∴tan∠NA₁x==cot∠NA₂x=tan（-∠NA₂x）.

又∠NA₁x、∠NA₂x均為銳角，?

∴∠NA₁x=90°-∠NA₂x,?

即∠NA₁x+?∠NA₂x=90°.?

根據(jù)對稱性，?

∴∠NA₁M+∠NA₂M=180°.?

（2）仿（1）可求得M（b,-），?

∴k·k==-1，

∴MA₁⊥A₂N.同理可證MA₂⊥A₁N.