Question

已知A₁，A₂為雙曲線C：的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，一條動(dòng)弦垂直于x軸，且與雙曲線交于P，Q（P點(diǎn)位于x軸的上方），直線A₁P與直線A₂Q相交于點(diǎn)M，
（1）求出動(dòng)點(diǎn)M（2）的軌跡方程
（2）設(shè)點(diǎn)N（-2，0），過點(diǎn)N的直線交于M點(diǎn)的軌跡上半部分A，B兩點(diǎn)，且滿足，其中，求出直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
直線A₁P的方程為：，（1）
直線A₂Q的方程為：，（2）
將（1）×（2）得到：，又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537001.png' />．
所以得到M的軌跡方程為：，（y≠0）
（2），∴A，B，N三點(diǎn)共線，而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，0）．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由消去x得，即
根據(jù)條件可知解得（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據(jù)韋達(dá)定理，得
又由得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
從而消去y₂得消去
令則
由于所以∅（λ）是區(qū)間上的減函數(shù)，
從而，即，
，∴解得
而，∴
因此直線AB的斜率的取值范圍是
分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），從而可得直線A₁P的方程為：直線A₂Q的方程為：由兩式得到：，結(jié)合，可得M的軌跡方程
（2），∴A，B，N三點(diǎn)共線，及點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，0）．可設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．，聯(lián)立方程消去x得，即
根據(jù)條件可知及，又由，建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解橢圓的方程，及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合考查，要求考生具備一定的綜合能力及推理運(yùn)算的能力，綜合性比較強(qiáng)．