【題目】如圖1,四邊形是邊長為2的菱形,,的中點,以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.

1)證明:平面平面;

2)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)依題意可得,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,從而得到,再證,即可得到平面,從而得證;

2)以為原點,分別以,,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標系,利用空間向量求二面角的余弦值;

解:(1)依題意知,因為,所以,

當平面平面時,

平面平面平面,

所以平面

因為平面,所以

由已知,是等邊三角形,且的中點,

所以,所以,

平面,平面,

所以平面,

平面,所以平面平面.

2)以為原點,分別以,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標系,

,,

,,,

設(shè)平面的一個法向量,平面的一個法向量

;令,解得,

所以

;令,解得,,

所以,

.

易得所求二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè),

(Ⅰ)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M

(Ⅱ)如果對于任意的都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比,某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:

組別

頻數(shù)

25

150

200

250

225

100

50

(1)由頻數(shù)分布表可以認為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;

(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:

(i)得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費;

(ii)每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:

獲贈的隨機話費(單位:元)

20

40

概率

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列及數(shù)學期望.

附:①;

②若,則,,.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】近年來,隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展,共享經(jīng)濟覆蓋的范圍迅速擴張,繼共享單車、共享汽車之后,共享房屋以“民宿”、“農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺上線.某創(chuàng)業(yè)者計劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”,為了確定未來發(fā)展方向,此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了天.得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表,為收費標準(單位:元/日),為入住天數(shù)(單位:),以頻率作為各自的“入住率”,收費標準與“入住率”的散點圖如圖

x

50

100

150

200

300

400

t

90

65

45

30

20

20

(1)若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機抽取兩家深入調(diào)查,記為“入住率”超過的農(nóng)家樂的個數(shù),求的概率分布列;

(2)令,由散點圖判斷哪個更合適于此模型(給出判斷即可,不必說明理由)?并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程.(結(jié)果保留一位小數(shù))

(3)若一年按天計算,試估計收費標準為多少時,年銷售額最大?(年銷售額入住率收費標準

參考數(shù)據(jù):

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了研究廣大市民對共享單車的使用情況,某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):

每周使用次數(shù)

1

2

3

4

5

6次及以上

4

3

3

7

8

30

6

5

4

4

6

20

合計

10

8

7

11

14

50

認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎共享單車”.

(1)分別估算男、女“喜歡騎共享單車”的概率;

(2)請完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%把握,認為是否“喜歡騎共享單車”與性別有關(guān).

不喜歡騎共享單車

喜歡騎共享單車

合計

合計

附表及公式:,其中.

0.15

010

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓離心率為,且與雙曲線有相同焦點.

1)求橢圓標準方程;

2)過點的直線與橢圓交于、兩點,原點在以為直徑的圓上,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,點,分別為橢圓的右頂點,上頂點和右焦點,且

1)求橢圓的方程;

2是橢圓上的兩個動點,若直線與直線的斜率之和為,證明,直線恒過定點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】第十三屆全國人大第二次會議于201935日在北京開幕.為廣泛了解民意,某人大代表利用網(wǎng)站進行民意調(diào)查.數(shù)據(jù)調(diào)查顯示,民生問題是百姓最為關(guān)心的熱點,參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占.現(xiàn)從參與調(diào)查者中隨機選出200人,并將這200人按年齡分組,第1,第2,第3,第4,第5,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求;

(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1組和第2組中用分層抽樣的方法抽取5人,并再從這5人中隨機抽取2人接受現(xiàn)場訪談,求這兩人恰好屬于不同組別的概率;

(3)把年齡在第1,2,3組的居民稱為青少年組,年齡在第4,5組的居民稱為中老年組,若選出的200人中不關(guān)注民生問題的中老年人有10人,問是否有的把握認為是否關(guān)注民生與年齡有關(guān)?

附:

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,平面是棱上的一點.

1)證明:平面平面;

2)若,的中點,,,且二面角的正弦值為,求的值.

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