Question

給出下列命題：
①已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F₁MF₂為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x²的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是    ．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】分析：①分F₁M垂直于x 軸時(shí)，MF₂垂直于x 軸時(shí)，當(dāng)∠F₁MF₂  為直角時(shí)，三種情況進(jìn)行討論．
②利用|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，進(jìn)行判斷．
③點(diǎn)斜式求出垂線方程，將它與漸近線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，計(jì)算線段MO 的值．
④求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，再求出圓心距，由兩圓的圓心距等于，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，從而得出結(jié)論．
解答：解：∵橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），當(dāng)F₁M垂直于x 軸時(shí)，這樣的點(diǎn)M
有2個(gè)． 當(dāng)MF₂垂直于x 軸時(shí)，這樣的點(diǎn)M有2個(gè)．當(dāng)∠F₁MF₂  為直角時(shí)，點(diǎn)M恰是橢圓短軸的端點(diǎn)（0，，2），
這樣的點(diǎn)M有2個(gè)，綜上，這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F₁MF₂為直角三角形，故①正確．
∵過拋物線y=2x²的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，由拋物線y=2x²
的方程即x²=y 知，p=，2p=，則|AB|的最小值為 ，故②不正確．
∵雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)為（c，0），一條漸近線的方程 y=x，
故垂線方程為 y-0=-（x-c），它與漸近線 y=x 的交點(diǎn)M（，），
∴MO===a，故③正確．
∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于的圓．
兩圓的圓心距等于，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線
由2條，故④正確．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線、雙曲線、圓的性質(zhì)，兩圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．