Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+b+1，當(dāng)x∈[b，a]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=f（n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＞m，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，可求得a=1，b=-1，從而得S_n=n²，于是可求得a₁及a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2），觀察即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得b_n=，利用錯(cuò)位相減法可求得T_n=3-．設(shè)g（n）=，n∈N₊，可求得＜1，即g（n）=（n∈N₊）隨n的增大而減小，于是g（n）≤g（1），由T_n＞m即可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴a-1=0，且a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴S_n=n²，即有a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
a₁=S₁=1也滿足，
∴a_n=2n-1．（5分）
（2）由（1）得b_n=，
∴T_n=+++…++，①
T_n=++…+++，②
①-②得T_n=+++…++-
=+（+++…+）-
=--，
∴T_n=3--=3-．（9分）
設(shè)g（n）=，n∈N₊，
則由===+≤+＜1，得g（n）=（n∈N₊）隨n的增大而減小，
∴g（n）≤g（1），
即T_n≥3-=．
又T_n＞m恒成立，
∴m＜．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式與數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法，考查構(gòu)造函數(shù)思想，考查函數(shù)單調(diào)性與最值，屬于難題．