Question

如圖，已知直線L：y=kx-1與拋物線C：y=x²，相交于兩點A、B，設點M（0，2），△MAB的面積為S．
（1）若直線L上與M連線距離為1的點至多存在一個，求S的范圍．
（2）若直線L上與M連線的距離為1的點有兩個，分別記為C、D，且滿足S≥λ|CD|恒成立，求正數(shù)λ的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用直線L與拋物線相交，直線L上與M連線距離為1的點至多存在一個，確定k的范圍，表示出S，即可求S的范圍．
（2）條件等價于λ≤

S

|CD|

，求出相應函數(shù)的最小值，即可求正數(shù)λ的范圍．

解答：解：（1）由已知，直線L與拋物線相交，由

y=kx-1 y=x2

可得x²-kx+1=0，∴△=k²-4＞0，即k²＞4…（1）
又直線L與以M為圓心的單位圓相離或相切，所以d=

3

k2+1

≥1，即k²≤8…（2）
由（1）（2）得：4＜k²≤8
∵S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

×

k2-4

×

3

k2+1

=

3

2

k2-4

∴S∈（0，3]；…（7分）
（2）由題意可知，當直線L與以M為圓心的單位圓相交于點C，D時，可得k²＞8，且|CD|=2

1- 9 k2+1

=2

k2-8 k2+1

令f（k）=

S

|CD|

=

3

4

(k2-4)(k2+1) k2-8

(k2＞8)，
令t=k²-8（t＞0），則y=

3

4

(t+4)(t+9) t

=

3

4

t+ 36 t +13

(t＞0)，當且僅當k=±

14

取到最小值是

15

4

所以，0＜λ≤

15

4

  …（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．