Question

(本題滿(mǎn)分15分) 如圖，四邊形中，為正三角形，，，與交于點(diǎn)．將沿邊折起，使點(diǎn)至點(diǎn)，已知與平面所成的角為，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若已知二面角的余弦值為，求的大小.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）只需證、即可；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)易知為的中點(diǎn)，

則，又，

又，平面，

所以平面   （5分）

(Ⅱ)方法一：以為軸，為軸，過(guò)垂直于

平面向上的直線(xiàn)為軸建立如圖所示空間

直角坐標(biāo)系，則,       （7分）

易知平面的法向量為 （8分）

，設(shè)平面的法向量為

則由得，

解得，，令，則 （11分）

則

解得，，即，即，

又，∴   故.（15分）   

考點(diǎn)：線(xiàn)面垂直的判定定理；線(xiàn)面角；二面角的求法。

點(diǎn)評(píng)：用綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點(diǎn)，而用向量法求解二面角無(wú)需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線(xiàn)，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小。