Question

如圖，四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=90°，AD//BC，CB⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2BC，F(xiàn)是線段AB的中點(diǎn)。

   （1）求證：DF⊥PF；

   （2）求PC與平面PDF所成的角。

Answer 1

（1）證明：∵CB⊥側(cè)面PAB，PF平面PAB，

∴PF⊥BC。

又∵△PAB是等邊三角形，F(xiàn)是線段AB的中點(diǎn)，

∴PF⊥AB，

∴PF⊥平面ABCD，

∵DF平面ABCD，

∴DF⊥PF。

（2）方法一：作CH⊥DF，垂足為H，連接PH，

由（1）知：PF⊥平面ABCD。

∴平面PDF⊥平面CDF，

∴CH⊥平面PDF，

∴PH是PC在平面PDF上的射影，

∴∠CPH是PC與平面PDF所成的角。

∵CB⊥側(cè)面PAB，AD//BC，DA⊥側(cè)面PAB，

∴△DAF，△BFC，△PBC都是直角三角形，

設(shè)BC=1，則DA=AB=2，AF=FB=1，

在三角形DFC中，DF=

經(jīng)計(jì)算

∴直角三角形PHC中，

∴PC與平面PDF所成的角為

方法二：

如圖，以F為原點(diǎn)，F(xiàn)B、FP分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。

              

設(shè)BC=1，則DA=AB=2，AF=FB=1，PF=

從而C（1，1，0）、D（2，－1，0）、P（0，0）

平面PDF的法向量

設(shè)PC與平面PDF所成的角為

∴PC與平面PDF所成的角為