Question

14．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\\{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\end{array}\right.$，不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）
• B． （-∞，0）
• C． （0，2）
• D． （-2，0）

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性容易判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，所以根據(jù)題意得到x+a＜2a-x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需滿足2（a+1）＜a，解該不等式即得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∵不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立
∴x+a＜2a-x恒成立，
即a＞2x恒成立，
∵x∈[a，a+1]，
∴（2x）_max=2（a+1）=2a+2，
即a＞2a+2，
解得a＜-2，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∵不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立
∴x+a＜2a-x恒成立，
即a＞2x恒成立，
∵x∈[a，a+1]，
∴（2x）_max=2（a+1）=2a+2，
即a＞2a+2，
解得a＜-2，
綜上所述：即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，以及一次函數(shù)的單調(diào)性．