Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=

3

，BD=AC=2
（Ⅰ）求證：BD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取BD中點O，連結AO，CO，由已知得AO⊥BD，CO⊥BD，從而BD⊥平面AOC，由此能證明BD⊥AC．
（2）由勾股定理得AO=CO=

2

，∠AOC=90°，從而OA，OB，OC兩兩垂直，以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABC的法向量和平面BCD的法向量，利用向量法求出二面角A-BC-D的平面角60°，由此能求出二面角A-BC-D的正切值．

解答： （1）證明：取BD中點O，連結AO，CO，
∵AB=BC=CD=DA=

3

，BD=AC=2，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，
又AC?平面AOC，∴BD⊥AC．
（2）解：∵AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，
AO=CO=

AB2-BO2

=

3-1

=

2

，
∴AO²+CO²=2+2=4=AC²，∴∠AOC=90°，
∴OA，OB，OC兩兩垂直，
以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，
建立空間直角坐標系，
A（0，0，

2

），B（1，0，0），C（0，

2

，0），D（-1，0，0），

AB

=(1，0，-

2

)，

AC

=（0，

2

，-

2

），
設平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AB =x- 2 z=0 n • AC = 2 y- 2 z=0

，取y=1，得

n

=（

2

，1，1），
又平面BCD的法向量

m

=（0，0，1），
設二面角A-BC-D的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

1

2

，
∴θ=60°，∴tanθ=

3

，
∴二面角A-BC-D的正切值為

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．