Question

已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，a₄=2a₃，S₂=6．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足：b_n=a_n+log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用等比數列{a_n}的通項公式和前n項和公式由已知條件求出首項和公比，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂a_n=2n+log22n=2ⁿ+n，由此利用分組求和法能求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
由

a4=2a3 S2=6

，得

a1q3=2a1q2 a1+a1q=6

…（2分）
解得

q=2 a1=2

…（4分）
所以an=a1qn-1=2n．…（6分）
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂a_n=2n+log22n=2ⁿ+n，…（8分）
所以Tn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)
=（2¹+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）…（9分）
=

2(1-2n)

1-2

+

n(n+1)

2

=2n+1+

n(n+1)

2

-2．…（12分）

點評：本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，注意分組求和法的合理運用．