Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cosA=

2

3

．
（1）求2sin2

B+C

2

+cos2(B+C)；
（2）若a=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的公式將2sin2

B+C

2

+cos2(B+C)化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)正弦定理以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵cosA=

2

3

，且2sin2

B+C

2

+cos2(B+C)=2cos2

A

2

+cos2A=(1+cosA)+2cos2A-1=2×

4

9

+

2

3

=

14

9

．
（2）由a²=b²+c²-2bccos²A得：
3=b2+c2-2bc×

2

3

≥2bc-

4

3

bc=

2

3

bc，
∴bc≤

9

2

，
∵cosA=

2

3

．
∴sinA=

1-( 2 3 )2

=

1- 4 9

=

5

3

，
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×

9

2

×

5

3

=

3 5

4

．
∴△ABC面積的最大值為

3 5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角公式的計(jì)算以及三角形面積的計(jì)算，利用正弦定理和余弦定理是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．