已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，且對(duì)任意的，恒成立.
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的最小值；
（Ⅲ）求證：（）.
（Ⅰ） （Ⅱ） 
（Ⅲ）先證，累加即得.

試題分析：（Ⅰ）將代入直線方程得，∴① 
，∴②  
聯(lián)立，解得∴                                
（Ⅱ），∴在上恒成立；
即在恒成立；         
設(shè)，，
∴只需證對(duì)于任意的有                 

設(shè)，
1）當(dāng)，即時(shí)，，∴
在單調(diào)遞增，∴                 
2）當(dāng)，即時(shí)，設(shè)是方程的兩根且
由，可知，分析題意可知當(dāng)時(shí)對(duì)任意有；
∴，∴                              
綜上分析，實(shí)數(shù)的最小值為.                             
（Ⅲ）令，有即在恒成立；
令，得        

∴原不等式得證.  
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程問題，在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想．特別是（Ⅲ）的證明，用到了放縮法和裂項(xiàng)相消，此題屬難度較大的題目．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發(fā)生側(cè)翻,導(dǎo)致濃硫酸泄漏,對(duì)河水造成了污染.為減少對(duì)環(huán)境的影響，環(huán)保部門迅速反應(yīng),及時(shí)向污染河道投入固體堿，個(gè)單位的固體堿在水中逐漸溶化,水中的堿濃度與時(shí)間(小時(shí))的關(guān)系可近似地表示為：,只有當(dāng)污染河道水中堿的濃度不低于時(shí),才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用.
(Ⅰ) 如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？
(Ⅱ) 第一次投放1單位固體堿后,當(dāng)污染河道水中的堿濃度減少到時(shí),馬上再投放1個(gè)單位的固體堿,設(shè)第二次投放后水中堿濃度為,求的函數(shù)式及水中堿濃度的最大值.（此時(shí)水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若不等式，求的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式的解集為R，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)．若關(guān)于的不等式的解集非空，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)是方程的解，則屬于區(qū)間　　　�。�   ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

探究函數(shù)f（x）=x＋,x∈（0，+∞）的最小值,并確定取得最小值時(shí)x的值.列表如下：
x
…
0.5
1
1.5
1.7
1.9
2
2.1
2.2
2.3
3
4
5
7
…
y
…
8.5
5
4.17
4.05
4.005
4
4.005
4.02
4.04
4.3
5
5.8
7.57
…
請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn),完成以下的問題.
函數(shù)f（x）=x＋（x＞0）在區(qū)間（0,2）上遞減；
（1）函數(shù)f（x）=x＋（x＞0）在區(qū)間                  上遞增.
當(dāng)x=                 時(shí),y最小=                         .
（2）證明：函數(shù)f（x）=x＋在區(qū)間（0,2）上遞減.
（3）思考：函數(shù)f（x）=x＋（x＜0）有最值嗎？如果有,那么它是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果,不需證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（  ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如果方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于?1，另一個(gè)大于1，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（     ）
A．B．（－2，0）C．（0，1）D．（－2，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的最值；
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；
(3)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間．

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