Question

若橢圓C：的離心率e為, 且橢圓C的一個焦點與拋物線y²＝－12x的焦點重合．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 設點M(2,0), 點Q是橢圓上一點, 當|MQ|最小時, 試求點Q的坐標；

(3) 設P(m,0)為橢圓C長軸（含端點）上的一個動點, 過P點斜率為k的直線l交橢圓與

A,B兩點, 若|PA|²＋|PB|²的值僅依賴于k而與m無關, 求k的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）(5,0)

（3）k＝±．

【解析】

試題分析：解：（1）∵依題意a=5,c=3∴橢圓C的方程為：      2¢

（2）設Q(x,y), －5≤x≤5

∴

∵對稱軸

∴當x＝5時, |MQ|²達到最小值,

∴當|MQ|最小時, Q的坐標為(5,0)                     ·6¢

（3）設A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), P(m,0)(－5≤m≤5), 直線l：y＝k(x－m)

由

得,  8¢

∴y₁＋y₂＝k(x₁－m)＋k(x₂－m)＝k(x₁＋x₂)－2km＝

y₁y₂＝k²(x₁－m)(x₂－m)＝k²x₁x₂－k²m(x₁＋x₂)＋k²m²＝·   10¢

∴

＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂－2a(x₁＋x₂)＋(y₁＋y₂)²－2y₁y₂－2y₁y₂＋2a²

＝    -12分

∵|PA|²＋|PB|²的值僅依賴于k而與m無關

∴512－800k²＝0∴k＝±．     13¢

考點：直線與橢圓的位置關系

點評：主要是考查了直線與橢圓的運用，屬于中檔題。