Question

正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為2，側(cè)面等腰三角形的頂角為30°，過底面頂點(diǎn)作截面△AMN交側(cè)棱SB、SC分別于M、N兩點(diǎn)，則△AMN周長(zhǎng)的最小值是

 

．

Answer 1

分析：沿著側(cè)棱SA把正三棱錐展開在同一個(gè)平面內(nèi)，原來的點(diǎn)A被分到兩處A、A^′，則線段 AA^′ 的長(zhǎng)度即為△AMN周長(zhǎng)的最小值．利用勾股定理求出線段 AA^′ 的長(zhǎng)度．

解答：解：沿著側(cè)棱SA把正三棱錐展開在同一個(gè)平面內(nèi)，原來的點(diǎn)A被分到兩處A、A^′，
則線段 AA^′ 的長(zhǎng)度即為△AMN周長(zhǎng)的最小值．
△S AA^′ 中，SA=SA^′=2，∠ASA^′=3×30°=90°，
∴AA^′=

SA2+SA′2

=

4+4

=2

2

，
故答案為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的展開圖的性質(zhì)，勾股定理得應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．