20、設(shè)函數(shù)f（x）=tx2+2t2x+t-1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜-2t+m對t∈（0，2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：（I）由f（x）=t（x+t）2-t3+t-1（x∈R，t＞0），根據(jù)配方法即可求出最小值；
（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m，對其求導后討論即可得出答案．
解答：解：（I）∵f（x）=t（x+t）2-t3+t-1（x∈R，t＞0），
∴當x=-t時，f（x）取最小值f（-t）=-t2+t-1，
即h（t）=-t3+t-1；
（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m，
由g′（t）=-3t2+3=0得t=1，t=-1（不合題意，舍去）
當t變化時g′（t）、g（t）的變化情況如下表：

∴g（t）在（0，2）內(nèi)有最大值g（1）=1-m
h（t）＜-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價于g（t）＜0在（0，2）內(nèi)恒成立，
即等價于1-m＜0
所以m的取值范圍為m＞1．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應用，難度一般，掌握運用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•長寧區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f（x2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）=
32
，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，若存在g（x）使得g（x）≤f（x）恒成立，則稱g（x）是f（x）的一個“下界函數(shù)”．
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）=
t
x
-lnx（t為實數(shù)）為f（x）的一個“下界函數(shù)”，求t的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-
1
ex
+
2
ex
，試問函數(shù)F（x）是否存在零點，若存在，求出零點個數(shù)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）（理）若f(1)=
32
，且g（x）=a2x+a-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．
（文）若f（1）＜0，試說明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省惠州市高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f（x2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省湛江21中高三（上）12月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f（x2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

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