設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=
xa2+x2
的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．
（Ⅰ）求f'（0），f'（1）的值，并比較它們的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．
分析：求導(dǎo)數(shù)f′（x），
（1）令x=0，x=1，可分別求得f'（0），f'（1）的值，再
（2）令f′（x）=0，求得x值，然后列表，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可判斷極值點求得極值．
解答：解：由于函數(shù)f(x)=
x
a2+x2
（a＞0）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），
則f′(x)=
(a2+x2)-x×2x
(a2+x2)2
=
a2-x2
(a2+x2)2
=-
(x+a)(x-a)
(a2+x2)2

（1）f'（0）=
1
a2
，f'（1）=
a2-1
(a2+1)2

由于a＞0，a2＜a2+1，則
1
a2
＞
1
a2+1 
=
a2+1
(a2+1)2
＞
a2-1
(a2+1)2
，故f'（0）＞f'（1）
（2）令f′（x）=0，則x=-a或x=a
當(dāng)x變化時f′（x），f（x）的變化情況如下表：
       x     （-∞，-a） -a      （-a，a）           a  （a，+∞）
f′（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
所以，當(dāng)x=a時，函數(shù)有極大值，且f（a）=
1
a3
，
當(dāng)x=-a時，函數(shù)有極小值，且f（-a）=-
1
a3
．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的運算能力，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=x-a
x2+1
+a．
（I）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=
12
x2-(a+1)x+alnx．
（1）若曲線y=f（x）在（2，f（2））處切線的斜率為-1，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=x2+ax+a-
3a
的定義域是{x|-1≤x≤1}．
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）的最大值大于6，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=
1
2
x2-4x+aln2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x=3時，函數(shù) f（x）取得極值，證明：當(dāng)θ∈[0，
π
2
]時，|f(1+2cosθ)-f(1+2sinθ)|≤4-3ln3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州二模）設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=
1
x2+a
．
（1）求證：關(guān)于x的方程f(x)=
1
x-1
沒有實數(shù)根；
（2）求函數(shù)g(x)=
1
3
ax3+ax+
1
f(x)
的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=f(xn)(n∈N*)，當(dāng)a=2且0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，證明：對任意m∈N*都有|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．

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