Question

設S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*S_n=qa_n+1（q＞0，q≠1），m，k∈N^*，且m≠k
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n
（2）試比較S_m+k與的大小
（3）當q＞1時，試比較與的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）當n=1時，a₁=S₁=qa₁+1，由q≠1，知，由此能求出數列{a_n}的通項公式a_n．
（2）由，令，所以，由此能推導出．
（3）當，由m≠k，知t^2m≠t^2k，1-t^2m＜0，1-t^2k＜0，1-t^m+k＜0，由此入手能夠推導出．
解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=qa₁+1，
∵q≠1，∴（1分）
（3分）
∴數列{a_n}是以首項為，公比為的等比數列，
∴．（4分）
（2）由（1）得（5分）
令，
∴（7分）

故（9分）
（3）當，
∵m≠k，∴t^2m≠t^2k，1-t^2m＜0，
1-t^2k＜0，1-t^m+k＜0
∴
=（11分）
∵
=（1-t^m+k）²
∴（13分）
∴
∴（14分）
點評：本題考查數列的通項公式的求法和多項式比較大小，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意培養(yǎng)計算能力．