Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

sin2xsinθ+cos2xcosθ-

1

2

sin(

π

2

+θ)(0＜θ＜π)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（

π

6

，

1

2

）
（1）求f（θ）的值
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）=k在[0，

π

4

]上只有唯一解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接對(duì)原函數(shù)化簡(jiǎn)整理，再把點(diǎn)（

π

6

，

1

2

）的坐標(biāo)代入求出θ即可求f（θ）的值；
（2）先根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律求出函數(shù)y=g（x）的解析式，再根據(jù)x的范圍畫出圖象，結(jié)合圖象即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="bls25kb" class="MathJye">f(x)=

1

2

sin2xsinθ+

1+cos2x

2

cosθ-

1

2

cosθ=

1

2

(sin2xsinθ+cos2xcosθ)
=

1

2

cos(2x-θ)…（3分）
由f(

π

6

)=

1

2

得cos(

π

3

-θ)=1
∴

π

3

-θ=2kπ又θ∈（0，π），
∴θ=

π

3

…（5分）
∴f(θ)=

1

2

cosθ=

1

4

…（6分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，
得到函數(shù)y=g（x）=

1

2

cos（4x-

π

3

）…（8分）
當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，4x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
作出y=

1

2

cost在t∈[-

π

3

，

2π

3

]的圖象，
結(jié)合圖形知k=

1

2

或-

1

4

＜k＜

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)式的整理化簡(jiǎn)．在整理三角函數(shù)式時(shí)，要牢記公式，并會(huì)對(duì)公式熟練使用．