Question

外輪除特許外，不得進(jìn)入離我國海岸線12海里以內(nèi)的區(qū)域，如圖：我國某海島海岸線是半徑為6海里的圓形區(qū)域，在直徑的兩個端點(diǎn)A、B設(shè)立兩個觀察點(diǎn)，已知一外輪在點(diǎn)P處，測得∠BAP=α，∠ABP=β．
（1）當(dāng)α=30°，β=120°時，該外輪是否已進(jìn)入我領(lǐng)海主權(quán)范圍內(nèi)？
（2）角α，β應(yīng)滿足什么關(guān)系時？就應(yīng)向外輪發(fā)出警告，令其退出我海域．

Answer 1

分析：（1）取AB得中點(diǎn)O，連接OP根據(jù)α和β求得∴∠APB=30°進(jìn)而可得AB=PB，利用余弦定理求得OP與18比較大小，進(jìn)而得出結(jié)論．
（2）先利用正弦定理表示出AP和BP，進(jìn)而設(shè)∠POB=θ，利用余弦定理求得AP²和BP²，根據(jù)AO=BO求得2PO²=AP²+BP²-2AO²，代入

122sin2β+122sin2α

sin2(α+β)

-2×62＜2×182求得α，β的關(guān)系

解答：解：（1）取AB得中點(diǎn)O，連接OP
∵∠α=30°，∠β=120°∴∠APB=30°，∴AB=PB=12
在三角形PBO中，OP²=6²+12²-2×6×12×cos120°=252
∴OP=6

7

＜18
故該外輪已經(jīng)進(jìn)入我領(lǐng)海主權(quán)范圍內(nèi)．
（2）在三角形APB中，∠BAP=α，∠ABP=β，AB=12，由正弦定理得：

PA

sinβ

=

PB

sinα

=

12

sin(α+β)

∴AP=

12sinβ

sin(α+β)

，BP=

12sinα

sin(α+β)

在三角形POB與PBO中，設(shè)∠POB=θ∴AP²=AO²+PO²-2AO•POcos（π-θ），
∴BP²=BO²+PO²-2BO•POcosθ，AO=BO∴AP²+BP²=2AO²+2PO²
∴2PO²=AP²+BP²-2AO²，當(dāng)PO＜18時
得：

122sin2β+122sin2α

sin2(α+β)

-2×62＜2×182
即sin²α+sin²β＜2sin²（α+β）．

點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．正弦定理和余弦定理是解三角形問題的常用公式，應(yīng)熟練記憶．