Question

給出下列四個(gè)命題：
①命題“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
②線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

4

；
④函數(shù)y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

5

2

）．
其中真命題的序號(hào)是

②④

．（填上所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)含有量詞命題的否定法則，得到①是錯(cuò)誤的；根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的定義，得到②是正確的；根據(jù)直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的圖形的面積，利用幾何概率模型公式得到③是錯(cuò)誤的；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合討論二次函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）的最小值，得到④正確．

解答：解：對(duì)于①，命題“?x∈R，x²≥0”是一個(gè)全稱命題，
它的否定應(yīng)該是先改量詞為存在，再否定結(jié)論，
故它的否定應(yīng)該是：“?x∈R，x²＜0”，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)r的定義，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，
說明它們的相關(guān)程度就越大，相關(guān)性就越強(qiáng)．
而r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．因此②正確；
對(duì)于③，若a，b∈[0，1]，則點(diǎn)M（a，b）落在區(qū)域是邊長為1的正方形內(nèi)，
不等式a²+b²＜

1

4

相對(duì)應(yīng)的區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心，半徑為

1

2

的圓在第一象限內(nèi)的扇形，
本題轉(zhuǎn)化為向正方形內(nèi)隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn)，它能落在扇形內(nèi)的概率，
所以不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率等于P=

1 4 π•( 1 2 )2

1×1

=

π

16

，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，函數(shù)y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，即
x²-ax+2＞1在[2，+∞）上恒成立，故x²-ax+1＞0
記F（x）=x²-ax+1，
（1）當(dāng)a≥4時(shí)，F(xiàn)（x）在區(qū)間（2，

a

2

）上是減函數(shù)，
在區(qū)間（

a

2

，+∞）上是增函數(shù)，
故最小值為F（

a

2

）=1-

1

4

a²＞0，可得a∈Φ；
（2）當(dāng)a＜4時(shí)，F(xiàn)（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
故最小值為F（2）=5-2a＞0，可得a∈（-∞，

5

2

），
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

5

2

），故④正確．
故答案為②④

點(diǎn)評(píng)：本題借助于命題真假的判斷為載體，著重考查了幾何概型、函數(shù)的最值和不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．