Question

如圖，圓O的半徑OC垂直于直徑AB，弦CD交半徑OA于E，過D的切線與BA的延長線于M．
（Ⅰ）已知∠BMD=40°，求∠MED：；
（Ⅱ）設(shè)圓O的半徑為1，MD=

3

，求MA及CD的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出∠MDE=∠MED，由此利用∠BMD=40°，能求出∠MED．
（Ⅱ）由已知條件求出OM=2，從而能求出MA=1，OE=2-

3

，由此利用余弦定理能求出CD的長．

解答： 解：（Ⅰ）連接OD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，
∵M(jìn)D切圓O于D，∴∠ODM=∠ODC+∠MDE=90°，
∵OC⊥AB，∴∠OCD+∠OEC=90°，∴∠OEC=∠MDE，
∵∠OEC=∠MED，∴∠MDE=∠MED，
∵∠BMD=40°，∴∠MED=

1

2

(180°-40°)=70°．
（Ⅱ）∵∠ODM=90°，OD=1，MD=

3

，∴OM=2，
∵OA=1，∴MA=OM-OA=1，
∵M(jìn)E=MD=

3

，∴OE=OM-ME=2-

3

，
∵OC⊥OE，OC=1，
∴CE²=1+（2-

3

）²=8-4

3

=（

6

-

2

）²，
∴CE=

6

-

2

，
∵DE=

4+4-2×2×2×cos40°

=2

2-2cos40°

，
∴CD=CE+DE=

6

-

2

+2

2-2cos40°

．

點評：本題考查角的求法和線段長的求法，是中檔題，解題時要注意勾股定理和余弦定理的合理運(yùn)用．