如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，
∠BAA1=∠DAA1=60°．
（1）求AC1的長；
（2）設直線AC1與平面A1DB交于點G，求證：AG=
13
AC1．
分析：（1）由
AC1
=
AB
+
AD
+
AA1
，知|
AC1
|2=|
AB
|2+|
AD
|2+|
AA1
|2+2
AB
•
AD
+2
AB
•
AA1
+2
AD
•
AA1
=85，由此能求出AC1的長．
（2）由A，G，C1三點共線知，存在λ∈R，使得
AG
=λ
AC1
=λ(
AB
+
AD
+
AA1
)=λ
AB
+λ
AD
+λ
AA1
．由B，D，A1，G四點共面知，存在x，y，z∈R，使得
AG
=x
AB
+y
AD
+z
AA1
，且x+y+z=1，由此能夠證明AG=
1
3
AC1．
解答：（1）解：∵
AC1
=
AB
+
AD
+
AA1

∴|
AC1
|2=|
AB
|2+|
AD
|2+|
AA1
|2+2
AB
•
AD
+2
AB
•
AA1
+2
AD
•
AA1
=85，
∴|
AC1
|=
85

（2）證明：由A，G，C1三點共線知，存在λ∈R，
使得
AG
=λ
AC1
=λ(
AB
+
AD
+
AA1
)=λ
AB
+λ
AD
+λ
AA1

由B，D，A1，G四點共面知，存在x，y，z∈R，
使得
AG
=x
AB
+y
AD
+z
AA1
，且x+y+z=1
由空間向量基本定理，得x=y=z=λ，
∴λ=
1
3
，
∴
AG
=
1
3
AC1
．
點評：本題考查線段長度的求法和證明線段間的數(shù)量關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，則下列向量中與
BM
相等的向量是（　�。�
A、-
1
2
a
+
1
2
b
+
c
B、
1
2
a
+
1
2
b
+
c
C、-
1
2
a
-
1
2
b
+
c
D、
1
2
a-
1
2
b+c

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，已知
AB
=a，
AD
=b，
AA1
=c，則用向量
a
，
b
，
c
可表示向量
BD1
=（　�。�
A、
a
+
b
+
c
B、
a
-
b
+
c
C、
a
+
b
-
c
D、-
a
+
b
-
c

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)對于向量a，b，定義a×b為向量a，b的向量積，其運算結果為一個向量，且規(guī)定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ為向量a與b的夾角），a×b的方向與向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次構成右手系．如圖，在平行六面體ABCD-EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，則(
AB
×
AD
)•
AE
=（　�。�
A、4
B、8
C、2
2
D、4
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，則
D1B
=（　�。�
A、
a
+
b
-
c
B、
a
+
b
+
c
C、
a
-
b
-
c
D、-
a
+
b
+
c

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2001•上海）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若
A1B1
=
a
，
A1D1
=
b
，
A1A
=
c
．則下列向量中與
B1M
相等的向量是（　�。�

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