Question

已知函數f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=-

1

2

x2+f′（x），討論函數F（x）的單調性；
（Ⅱ）若直線l與曲線y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點．求證：x₁＜

x1-x2

f′(x1)-f′(x2)

＜x2．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由題意，求導f′（x）=lnx+2，（x＞0）；從而可得F（x）=-

1

2

x²+lnx+2，（x＞0）；再求導F′（x）=-x+

1

x

=

-x2+1

x

；從而確定函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）由題意，x₁＜

x1-x2

f′(x1)-f′(x2)

＜x2可化為1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

＜

x2

x1

，再令

x2

x1

=t＞1，從而轉化為證明1＜

t-1

lnt

＜t，即lnt＜t-1＜tlnt，（t＞1）；構造函數，通過函數的單調性證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f′（x）=lnx+2，（x＞0）；
F（x）=-

1

2

x²+lnx+2，（x＞0）；
∴F′（x）=-x+

1

x

=

-x2+1

x

；
故當x∈（0，1）時，F′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，F′（x）＜0；
綜上所述，F（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
（Ⅱ）證明：由題意，要證x₁＜

x1-x2

f′(x1)-f′(x2)

＜x2，
即證x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x₂，
即證1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

＜

x2

x1

，
令

x2

x1

=t＞1；
則只需證明1＜

t-1

lnt

＜t，由lnt＞0；
即證明：lnt＜t-1＜tlnt，（t＞1）；
①設g（t）=t-1-lnt，（t≥1），
則g′（t）=1-

1

t

≥0；
故g（t）在[1，+∞）上單調遞增，而當t＞1時，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，
即lnt＜t-1；
②設h（t）=tlnt-（t-1），則h′（t）=lnt≥0；
故h（t）在[1，+∞）上單調遞增，而當t＞1時，h（t）=t-1-lnt＞h（1）=0，
即tlnt＞t-1；
綜上所述，x₁＜

x1-x2

f′(x1)-f′(x2)

＜x2．

點評：本題考查了導數的綜合應用及利用函數的單調性證明不等式的方法應用，屬于中檔題．