Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率，左、右焦點分別為F₁、F₂，點滿足：F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點A（2，0）、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：由橢圓C的離心率 和點F₂在線段PF₁的中垂線上知|F₁F₂|=|PF₂|，由此推出 ，從而可求出橢圓C的方程．
解法二：橢圓C的離心率，得，先求得線段PF₁的中點為D的坐標，根據(jù)線段PF₁的中垂線過點F₂，利用，得出關于c的方程求出c值，最后求得a，b寫出橢圓方程即可；
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用∠NF₂F₁=∠MF₂A得出的斜率關系即可求得k的取值范圍．
解答：解：（1）解法一：橢圓C的離心率，得，其中橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），、F₂（c，0），
又點F₂在線段PF₁的中垂線上，∴F₁F₂=PF₂，∴
解得c=1，a²=2，b²=1，∴橢圓C的方程為．…（6分）
解法二：橢圓C的離心率，得，其中
橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），、F₂（c，0），
設線段PF₁的中點為D，∵F₁（-c，0），，∴，
又線段PF₁的中垂線過點F₂，∴，即c=1，a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為
（2）由題意，直線l的方程為y=k（x-2），且k≠0，
聯(lián)立，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=8（1-2k²）＞0，得，且k≠0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有，，（*）
∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且由題意∠NF₂A≠90°，∴，
又F₂（1，0），∴，即，
∴，整理得2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=0，
將（*）代入得，，知上式恒成立，故直線l的斜率k的取值范圍是． …（12分）
點評：本小題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．