Question

數(shù)列{a_n}滿足，（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）證明：；
（III）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用數(shù)列遞推式，計算前幾項，猜想數(shù)列的通項，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（II）證明當(dāng)x＞0時，ln（1+x）＜x，令得，即，從而可得，由此可證得結(jié)論；
（III）由柯西不等式，要證，即證 ，即證：，構(gòu)建函數(shù)，證明當(dāng)x＞0時，，取得，由此可證得結(jié)論．
解答：（I）解：由得，猜想：
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想：成立．
（�。┊�(dāng)n=1時，，猜想成立；
（ⅱ）假設(shè)n=k（k∈N^*）時，猜想成立，即；
那么當(dāng)n=k+1時，，從而n=k+1時猜想成立．
綜合（ⅰ），（ⅱ）知：猜想成立．即數(shù)列的通項公式為．
（II）證明：當(dāng)x＞0時，構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln（1+x）-x，則g′（x）=，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)減
∴g（x）＜g（0），∴l(xiāng)n（1+x）＜x；
所以令得，即，
∴，于是，
從而 
∴
（III）證明：由柯西不等式得：
所以要證
即證 ，也就是需證：，
即證：；
因為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，所以當(dāng)x＞0時，，
取得
∴，所以 ．
∴
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)知識，綜合性強，屬于難題．