Question

已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（sinθ，cosθ）
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求tanθ的值；
（2）若（

OA

+2

OB

）•

OC

=1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求sin2θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得sinθ+2cosθ=1，與sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立即可解出．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（sinθ，cosθ），
∴

AC

=(sinθ-1，cosθ)，

BC

=（sinθ，cosθ-1）．
∵|

AC

|=|

BC

|，∴

(sinθ-1)2+cos2θ

=

sin2θ+(cosθ-1)2

，
化為2sinθ=cosθ，∴tanθ=

1

2

．
（2）

OA

+2

OB

=（1，0）+2（0，1）=（1，2），
又（

OA

+2

OB

）•

OC

=1，
∴sinθ+2cosθ=1，
與sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立

sinθ+2cosθ=1 sin2θ+cos2θ=1

，
解得

sinθ=1 cosθ=0

或

sinθ=- 3 5 cosθ= 4 5

．
∴sin2θ=2sinθcosθ=0或-

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．